Groupes anneaux corps – structures algébrique simple
Groupes anneaux corps : les premières structures algébriques en mathématiques
Un groupe est un ensemble constitué d’une loi interne munie d’un certain nombre de propriétés. Dans un anneau, on ajoute une seconde loi interne. Les corps constituent un cas particulier d’anneau, où certains éléments sont inversibles pour la seconde loi… pas facile de s’y retrouver sans y voir clair dans les différentes définitions et propriétés !
Nathan GREINER, diplômé de l’école Polytechnique et professeur à Optimal Sup-Spé, vous présente un cours complet sur les groupes, les anneaux et les corps.
Vous pouvez regarder cette vidéo si vous êtes actuellement en :
- 1ère année de CPGE MPSI, MP2I. En filières PCSI et PTSI il pourra être intéressant aussi de regarder cette vidéo pour ses aspects « culturels » !
- 2ème année de CPGE MP-MP*, MPI. Pour cette filière il faudra aller plus loin avec les cours filmés d’Olivier Bégassat (normalien Ulm, doctorant) sur les idéaux d’un anneau commutatif, sur Z/nZ.
Attention : les vidéos de maths spé sont réservées à nos étudiants. - L1 et L2 de mathématiques à l’université.
Au programme
Au programme de ce cours prépa Groupes, anneaux, corps
- Loi de composition interne, élément neutre, élément inversible
- Groupe, sous-groupe, groupe abélien, caractérisation des sous-groupes
- Anneau, sous-anneau, caractérisation des sous-anneaux
- Corps, sous-corps
- Etude de nombreux exemples : (Z, +), (Z, +, x), (Mn(C), x), (R*, x), (R, +, x), (Z, +, x)…
Pré-requis pour comprendre ce cours Groupe, anneaux et corps
Pas de pré-requis particulier si ce n’est un niveau correct en abstraction ; toutefois il est conseillé de bien connaître dans un premier temps la notion d’ensemble, que vous pouvez réviser avec notre cours Ensembles et applications. Nathan GREINER prend ici le temps de tout vous ré-expliquer en détail et avec la patience qui convient, pour bien comprendre et maîtriser ces définitions techniques.
Pour aller plus loin dans le chapitre « Structures algébriques usuelles » : Olivier BEGASSAT, normalien Ulm, propose des cours d’approfondissement destiné aux étudiants des classes préparatoires MP et MP*, ainsi qu’aux étudiants de L2, L3 et M1. Il s’agit ici d’aborder la notion de morphisme de groupe, morphisme d’anneaux, et d’étudier en profondeur la notion d’idéal d’un anneau commutatif. On s’intéresse ensuite aux structures du type Z/nZ : liens avec les nombres premiers et l’arithmétique, théorème chinois… Attention : ces vidéos et les polycopiés correspondants sont réservées à nos élèves.
Vous pouvez aussi aller plus loin et découvrir une autre structure algébrique très connue, qui se construit à partir d’un groupe abélien… voir le chapitre Espaces vectoriels.
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