Intégrales et primitives

Intégrales et primitives : définitions et propriétés

Intégrales et primitives : qu’est-ce qu’une intégrale ?

L’integrale d’une fonction f positive définie et continue sur un segment [a, b] s’interprète comme l’aire située entre la courbe représentative de f, l’axe des abscisses, la droite d’équation x = a et la droite d’équation x = b. Lorsqu’une fonction f est négative, l’intégrale de a à b de f(t)dt représente en réalité l’opposé de l’aire sous la courbe. Mais ce n’est qu’une interprétation de l’intégrale…

Comment définir l’intégrale d’une fonction continue pas spécialement positive, ou négative ? Un théorème fondamental en analyse assure que si F est une primitive d’une fonction f continue, alors l’intégrale de f de a à b est la quantité F(b) – F(a)… mais cela reste un théorème ! Quelle est, au fond, la définition de l’intégrale d’une fonction continue ? Pour cela, encore faut-il connaître d’abord la définition de l’intégrale d’une fonction continue par morceaux. Une telle définition est donnée dans la fiche-formulaire sur les Intégrales. On peut, ensuite, définir la notion d’intégrale d’une fonction f continue sur un segment [a,b] comme la borne supérieure de l’ensemble des intégrales des fonctions en escalier minorant f, et la borne inférieure de l’ensemble des intégrales des fonctions en escalier majorant f.
Ces définitions ne sont pas simples. En pratique, on ne s’en sert pas souvent en exercices. Le plus important est de maîtriser les techniques de calcul intégral : recherche de primitives, intégration par parties, changement de variable.

Vous pouvez regarder cette vidéo si vous êtes actuellement en :

• 1ère année de CPGE MPSI, PCSI, PTS, MP2I et TSI 1ère année
• 2ème année de CPGE MP, PC, PSI, PT, MPI, TSI 2ème année (révisions souvent utiles du programme de Sup sur ce chapitre… pour préparer le chapitre « Intégration sur un intervalle quelconque !)
• Prépas HEC ECG (idem pour préparer les Intégrales impropres, utiles pour travailler les variables à densité)
• Prépa BCPST 1ère et 2ème année (idem)
• Prépa B/L 1ère ou 2ème année
• L1 et L2 de maths et/ou d’économie-gestion à l’université
• élèves de Terminale suivant l’enseignement de spécialité en mathématiques de bon niveau !

Au programme

Technique de calcul d’une intégrale

• Recherche de primitives
• Intégration par parties
• Changement de variable

Pré-requis pour comprendre ce cours Intégrale

On s’intéresse ici essentiellement à l’intégrale d’une fonction continue (ou continue par morceaux)… il semble donc important d’être familier avec la notion de continuité. Néanmoins vous pouvez parfaitement suivre ce cours avec les simples connaissances de Terminale S !

Pour aller plus loin dans le chapitre « Intégrale »  avec les Formules de Taylor et intégrales impropres :  Un chapitre exploite la théorie de l’intégration : il s’agit du chapitre Formules de Taylor et Développements limités. Vous y découvrirez par exemple la formule de TAYLOR avec reste intégral. Si cela vous intéresse vous pouvez aussi vous reporter au complément au cours complet sur les Intégrales de la bibliothèque pédagogique partenaire Klubprépa.

Bien sûr, les étudiants de 2ème année pourront travailler le chapitre « Intégration sur un intervalle quelconque » (Intégrales impropres).
A noter : les vidéos de cours de niveau « exclusivement 2ème année » sont réservées à nos élèves.

Nos supports

Suivez le cours filmé « Intégrale » en téléchargeant la fiche-formulaire d’Optimal Sup-Spé :

• Formulaire Intégration sur un segment
• Cours Intégration sur un segment

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