Développement limité

Développement limité et formules de Taylor

Comment définir le développement limité d’une fonction au voisinage d’un point ? Comment calculer le d.l.(n) d’une fonction à l’aide des développements limités les plus classiques ? Pour cela, vous devrez d’abord maîtriser les formules de TAYLOR, en particulier la formule de Taylor-Young. Vous devrez ensuite connaître par coeur vos DL classiques… mais aussi savoir les retrouver… et les exploiter !

Vous pouvez regarder cette vidéo si vous êtes actuellement en :

• prépa scientifique MPSI, PCSI, PTSI, TSI 1ère année, MP2I
• prépa scientifique MP(*), PC(*), PSI(*), PT(*), TSI 2ème année
• université de sciences ou de gestion, 1ère et 2ème année
• prépa HEC ECG option mathématiques approfondies, prépa HEC 2ème année toutes options

Au programme

Au programme de ce cours prépa sur le développement limité

• Partie régulière, reste d’un développement limité. Obtention des DL à l’aide de la formule de TAYLOR-Young
• Etude du reste : la formule de TAYLOR avec reste intégral, l’inégalité de TAYLOR-LAGRANGE, la formule de TAYLOR-LAGRANGE
• Développements limités des fonctions usuelles : exp, ln, puissance, cos, sin, tan, ch, sh, th… etc.
• Méthodes pour exploiter un développement limité

Pré-requis pour suivre le cours de développement limité

Nous n’étudions pas un développement limité pour le plaisir… (quoique ?) généralement, on forme le DL d’une fonction au voisinage d’un point pour lever une forme indéterminée, en particulier lorsque les outils classiques (calculs directs de limite, utilisation d’équivalents…) n’ont rien donné. Il est donc indispensable de connaître d’abord les propriétés des fonctions, en particuliers des fonctions continues et des fonctions dérivables. Vous pouvez aussi réviser le chapitre relatif aux fonctions usuelles.

Pour approfondir le cours applications linéaires : éventuellement, il pourrait être intéressant de s’intéresser aux liens entre développements limités et équations différentielles. En effet, dès lors que l’on peut dériver terme à terme un développement limité, toute équation différentielle (exemple : tan’ = 1+tan^2) peut vous permettre de trouver le DL rapidement : voir pour cela les exercices du polycopié. Bien sûr la suite logique du chapitre développement limité est l’étude des développements complets… c’est-à-dire des développements en Séries Entières (chapitre de Math Spé).

Nos supports

Suivez le cours filmé « Espace Vectoriel » en téléchargeant la fiche-formulaire d’Optimal Sup-Spé :

• Formulaire Développement limité
• Cours Développement limité, formules de Taylor

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Nos cours toute l’année

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