Polynômes, fonctions polynômes
Comment décomposer un polynôme dans C[X] ? dans R[X] ? Quels sont les liens entre un polynôme, sa fonction polynome (ou polynomiale) associée, les nombres complexes ? Que peut-on déduire du théorème de D’ALEMBERT-GAUSS ? Comment déterminer le reste d’une division euclidenne entre deux polynômes ?
Olivier JASMIN, professeur à Optimal Sup-Spé depuis plusieurs années et diplômé des Ponts et Chaussées, fait le point sur ce chapitre, qui tombe à peu près tout le temps aux concours. En effet, les polynômes sont un domaine d’étude liant l’algèbre et l’analyse
Vous pouvez regarder cette vidéo si vous êtes actuellement en :
- 1ère année de CPGE MPSI, PCSI, PTSI, MP2I et TSI 1ère année
- 2ème année de CPGE MP, PC, PSI, PT, MPI, TSI 2ème année (révisions souvent utiles du programme de Sup sur ce chapitre)
- Prépa HEC ECG option mathématiques approfondies, 1ère et 2ème année,
- Prépa HEC ECG option mathématiques appliquées, prépa D2 (mais sans les racines complexes… donc un programme plus « light » pour cette filière)
- Prépa BCPST 1ère et 2ème année
- Prépa B/L 1ère ou 2ème année
- L1 et L2 de maths à l’université
Au programme
Au programme de ce cours sur les polynômes
- Coefficients, coefficient dominant, degré, monômes…
- Racines complexes, racines réelles, ordre de multiplicité…
- Théorème de D’ALEMBERT-GAUSS, décomposition d’un polynôme dans R[X], dans C[X], polynômes scindés et irréductibles…
- Liens entre coefficients et racines…
- Division euclidienne d’un polynôme par un autre…
Pré-requis pour suivre le cours sur les polynômes
Hormis pour les prépas ECE, il est vivement conseillé de travailler ce chapitre en lien avec le chapitre Nombres complexes. La plupart des propriétés des polynômes, mais aussi des exercices classiques, font appel aux propriétés sur les nombres complexes. Par exemple, la question « décomposer dans C[X] le polynôme X^n – 1 » suppose (entre autres) de connaître le cours sur les racines n-èmes de l’unité, c’est-à-dire de connaître les solutions de l’équation complexe z^n = 1.
Pour approfondir le cours sur les polynômes : on peut s’intéresser aux espaces vectoriels de polynômes. Par exemple, des formules telles que la formule de TAYLOR pour les polynômes, qui peuvent se démontrer avec des arguments d’analyse, peuvent également être traitées sous l’angle algébrique. On pourra aussi se souvenir que l’étude des polynômes passe aussi par l’étude des fonctions polynomiales, qui ne sont qu’un cas particulier de fonctions continues : on pourra ainsi se reporter au cours sur les fonctions continues.
Vous pouvez aussi aller plus loin et découvrez une autre structure algébrique très connue, qui se construit à partir d’un groupe abélien… voir le chapitre Espaces vectoriels.
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